치역과 거리, 조건을 경우의 수로 바꾸기

각 학생이 $6$의 약수 눈을 얻은 횟수를 $a,b$라 하면 한 번의 확률은 $\frac{2}{3}$이고 $P=(a,6-2a)$, $Q=(3-b,2b)$이다.

거리제곱은 $5(a+b-3)^2$이므로 거리 $\sqrt{5}$ 조건은 $a+b=2$ 또는 $4$이고 그 확률은 $$\frac{\binom{6}{2}\cdot 2^2+\binom{6}{4}\cdot 2^4}{3^6}=\frac{300}{729}$$이다.

시험의 목표 $P=(1,4)$는 $a=1$이므로 가능한 쌍은 $(1,1),(1,3)$이며 확률의 분자는 $$\frac{36+48}{729}=\frac{84}{729}$$이다.

따라서 조건부확률은 $\frac{84}{300}=\frac{7}{25}$이고, 횟수쌍 여섯 개는 같은 확률이 아니므로 각 쌍의 이항가중치를 적용해야 한다.

입력과 출력의 홀짝이 같으므로 홀수 치역 $O\subset\{1,3,5\}$, 짝수 치역 $E\subset\{2,4,6\}$로 나누며 같은 출력은 치역 합에서 한 번만 센다.

합 $15$인 비어 있지 않은 $(O,E)$는 $$\begin{aligned}&(\{3\},\{2,4,6\}),\\&(\{5\},\{4,6\}),\\&(\{1,3,5\},\{6\}),\\&(\{1,3,5\},\{2,4\})\end{aligned}$$의 네 경우뿐이다.

홀수 세 입력에 세 홀수출력을 모두 쓰는 경우는 $3!=6$, 출력 하나만 쓰면 $1$이고, 짝수 세 입력은 비감소이므로 두 출력을 모두 쓰는 경우 $2$, 하나 또는 세 출력을 모두 쓰는 경우 $1$이다.

따라서 네 경우의 수를 합하면 $$1\cdot1+1\cdot2+6\cdot1+6\cdot2=21$$이며, 치역의 합을 여섯 함숫값의 합으로 바꾸면 조건이 달라진다.

도로 한 칸을 $1$로 놓으면 $A=(0,0)$, $P=(5,3)$, $B=(7,5)$이고, 내부 $(2,1)$로 연결되는 네 도로가 없어 그 교차점을 지나는 경로는 사용할 수 없다.

끊김이 없는 $A\to P$의 최단경로는 $\binom{8}{3}=56$가지이며, 금지교차점을 지나는 경로는 $A\to(2,1)$의 $\binom{3}{1}=3$가지와 그 점 $\to P$의 $\binom{5}{2}=10$가지를 곱한 $30$가지이다.

따라서 $A\to P$는 $26$가지이고 $P\to B$는 $\binom{4}{2}=6$가지이므로 필수 경유점 $P$ 전후를 곱해 $$26\cdot6=156$$가지를 얻는다.

금지된 도로가 모두 같은 교차점에 이어져 있으므로 제외 대상을 그 점을 지나는 경로로 한 번만 세어야 중복해서 빼지 않는다.

$C$와 $D$ 사이에 정확히 한 장이 있으려면 두 위치의 차가 $2$여야 하므로 위치쌍은 $(1,3)$부터 $(5,7)$까지 $5$개이다.

각 위치쌍에서 $C,D$의 순서는 $2$가지이고 남은 다섯 자리에 $A$ 두 장과 $B$ 세 장을 놓는 수는 $$\frac{5!}{2!3!}=10$$가지이다.

따라서 전체는 $5\cdot2\cdot10=100$가지이며 같은 $A$나 $B$ 중 어느 카드를 놓았는지에 대해 추가로 곱하지 않는다.

가운데 문자가 $A$인 묶음과 $B$인 묶음으로 나누어도 각각 $40,60$으로 같은 $100$이 되어 검산된다.

자연수 조건과 $(c-1)(d-1)\ne0$에서 $c,d\ge2,\ e\ge1$이고, $6\le a+b\le7$이므로 $a+b=6$과 $7$을 나눈다.

합 $6$인 양의 정수쌍 $(a,b)$은 $5$개이며 $c+d+e=9$에서 $u=c-2$, $v=d-2$, $w=e-1$로 두면 $u+v+w=4$이므로 ${}_3\mathrm{H}_4=15$개이다.

합 $7$일 때는 $(a,b)$가 $6$개이고 같은 하한합 $5$를 빼면 $u+v+w=3$이므로 ${}_3\mathrm{H}_3=10$개이다.

따라서 $$5\cdot{}_3\mathrm{H}_4+6\cdot{}_3\mathrm{H}_3=75+60=135$$이며, 하한을 옮긴 뒤의 합과 $(a,b)$의 분할 수를 각각 반영해야 한다.