정의를 정확히 읽고, 여러 조건을 하나의 식으로

$P(x)=x^{10}-x^2+5$라 하고 $P(x)=(x-1)^2Q(x)+ax+b$로 놓는다.

$x=1$을 대입하면 $a+b=P(1)=5$이고, 한 번 미분한 뒤 다시 대입하면 몫이 들어간 항이 모두 사라져 $a=P'(1)=8$이 된다.

따라서 $b=-3$이며 시험이 요구하는 $a+3b$는 -1이다.

나머지를 뺀 다항식의 함수값과 도함숫값이 $x=1$에서 모두 0이므로 $(x-1)^2$으로 나누어진다는 조건도 맞는다.

유리함수를 $y=-2+\frac3{x-1}$로 고치면 수평선 $y=-2$와는 만나지 않는다는 예외가 드러난다.

교점식 $(t+2)x=t+5$에서 $t\ne-2$이면 정의역 안의 교점이 하나이고, $t=-2$이면 $0=3$으로 교점이 없다.

따라서 $f(-2)=0$이지만 주변의 $f(t)$는 1이므로, 곱의 실제값 0과 극한 $-4+a$가 일치하려면 $a=4$여야 한다.

이 값을 넣으면 $f(t)g(t)$는 예외점에서도 $2t+4$와 일치하므로 실수 전체에서 연속임이 확인된다.

그림에서 $x<0$일 때 $f(x)=-x-1$이고 $x>0$일 때 $f(x)=\frac x2$이므로, $f(x)+|f(x)|$는 왼쪽에서 0, 오른쪽에서 $x$가 된다.

따라서 $g$의 양쪽 극한은 0이지만 채워진 점 $f(0)=\frac12$를 넣은 실제값 $g(0)$은 1이다.

반사입력을 더한 $h(x)=f(x)+f(-x)$는 $x\ne0$에서 $\frac{3|x|}{2}-1$, $x=0$에서 1이어서 $h$ 자체는 불연속이다.

그러나 $|h(x)|$의 극한은 1로 실제값 $|h(0)|=1$과 같으므로 $|h|$는 연속이고, 옳은 보기는 ㄱ·ㄴ이다.

첫 식에서 $x\to0^+$이면 이동된 입력 $x+2$는 $2^+$로 가며, 그림의 분모 $f(x+2)$는 0으로 가므로 $g(0)=0$이어야 한다.

둘째 식에서는 $x\to3^+$이고 분자 입력이 $5^+$로 가므로 $g(5)=0$을 얻는다.

최고차항 계수가 1인 이차식은 $g(x)=x(x-5)$로 결정되고 $g(6)=6$이다.

필요조건에 그치지 않고 첫 비를 $-\frac{g(x)}x=5-x$로 약분하면 극한 5가 실제로 존재한다.

오른쪽 직선을 $f(x)=m(x-3),\ m>0$으로 쓰면 둘째 비도 $\frac{x+2}m$으로 약분되어 극한 $\frac5m$이 존재하므로 두 조건이 모두 성립한다.

두 분모가 0으로 가는데 극한은 유한하므로 먼저 $f(0)+g(0)=0$과 $f(0)+3=0$을 얻어 $f(0)=-3,\ g(0)=3$을 정한다.

첫 극한은 $f'(0)+g'(0)=8$로 바뀌고, 둘째 식은 $\frac{f(x)-f(0)}x$를 $g(x)$로 나눈 형태이므로 $\frac{f'(0)}3=3$에서 $f'(0)=9$를 얻는다.

따라서 $g'(0)=-1$이며 곱의 미분법으로
$$h'(0)=9\cdot3+(-3)\cdot(-1)=30$$
이다.

예를 들어 $f(x)=-3+9x,\ g(x)=3-x$를 넣으면 두 원래 극한과 결과 30을 동시에 확인할 수 있다.