접점·최솟값·자취, 계산 뒤의 조건까지

$x$축과 원의 교점은$(\pm a\sqrt5,0)$이므로 밑변$AB=2a\sqrt5$이고, 넓이$4\sqrt5$ 조건은 높이$\lvert y\rvert=\frac4a$로 바뀐다.

따라서 가능한 $P$는 원과 두 수평선$y=\pm h,\quad h=\frac4a$의 교점이며, 원의 $y$좌표 범위는$[-a,5a]$이다.

$h<a$이면 교점4개, $a<h<5a$이면2개이므로 정확히3개가 되는 때는 아래 직선이 접하고 위 직선이 두 점에서 만나는 $h=a$뿐이다.

$\frac4a=a$와 $a>0$에서 $a=2$이고, 세 점은$(0,-2),\quad(\pm4\sqrt2,2)$이다.

새 삼각형의 밑변은$8\sqrt2$,높이는4이므로 넓이는$16\sqrt2$이며 두 평행선 중 어느 쪽이 접하는지까지 구분해야 한다.

길이에 맞춰 $B=(0,0),\ C=(4,0),\ A=(3,3)$으로 놓고 $E=(t,0),\quad0\le t\le4$로 둔다.

$E$를 $AB$와 $AC$에 대칭한 $$\begin{aligned}E_1&=(0,t),\\E_2&=\left(\frac{36-4t}{5},\frac{12-3t}{5}\right)\end{aligned}$$를 잡으면 둘레는 $E_1D+DF+FE_2$이므로 $E_1E_2$ 이상이다.

그 거리의 제곱은$$\frac{80(t-3)^2+720}{25}$$이어서 $t=3$에서 최소$\frac{144}{5}$를 갖는다.

이때 $E_1E_2$는 $y=-\frac x2+3$이고 실제 변 위의 $$\begin{aligned}D&=(2,2),\\F&=\left(\frac{18}{5},\frac65\right)\end{aligned}$$를 차례로 지나므로 등호가 성립한다.

따라서 최솟값은$\frac{12\sqrt5}{5}$이고 $p+q=17$이며, 대칭으로 하한을 얻은 뒤 남은 변수와 변 위의 위치까지 검증하는 것이 추가 단계이다.

두 직선은 각각 고정점$(8,0),(0,4)$를 지나고 법선벡터$(m,-1),(1,m)$의 내적이0이어서 항상 수직이다.

교점$P=(x,y)$는 두 고정점을 지름 끝점으로 하는 원 위에 있으며, 원래 식 $y=m(x-8),\quad x=m(4-y)$에서 $m$을 소거하면$$(x-4)^2+(y-2)^2=20$$이다.

원 위 점 중 $x\ne8$이면 $m=\frac{y}{x-8}$로 원래 두 식을 만족하고, $x=8$인 두 점 중$(8,0)$은 $m=2$로 가능하지만$(8,4)$는$4=m\cdot0$을 요구해 불가능하다.

따라서 자취는 반지름$2\sqrt5$인 원에서$(8,4)$ 한 점을 뺀 도형이고, 한 점을 빼도 곡선 길이는 변하지 않으므로 길이는$4\pi\sqrt5$이다.

$n(A\cap B)=2$는 $k$가2,3,5 중 정확히 두 수의 배수라는 뜻이므로20이하 후보는$6,10,12,15,18,20$이다.

각 후보에서 양의 약수 중 $B$의 원소를 지우면 $A\setminus B$의 원소합은 차례로$7,11,23,16,34,35$가 된다.

그 합이 짝수인 경우는 $k=15$와$18$뿐이므로 요구한 합은33이다.

대비문항과 달리 $B$가 모두 소수이고 짝수합을 요구하므로, 기존 보기의 답을 옮기지 않고 후보와 차집합을 다시 계산해야 한다.

$T=(2,3)$을 지나는 직선까지 원점에서 내린 수선의 길이는 $OT=\sqrt{13}$ 이하이고, $T$가 수선의 발일 때 최대가 된다.

따라서 최적 직선은 $OT$에 수직인$2x+3y-13=0$이며, 원의 중심$(8,6)$에서 이 직선까지의 거리는$\frac{21}{\sqrt{13}}$이다.

원 위에서 직선과 가장 먼 점은 중심을 지나는 수선의 직선 반대쪽 끝점이므로 중심거리와 반지름1을 더해$$\frac{21\sqrt{13}}{13}+1$$을 얻는다.

따라서 $p=13,q=21,r=1$이고 $p+q+r=35$이며, 원의 반지름을 더하는 이유는 수선방향으로 실제 원 위 끝점에서 상한이 달성되기 때문이다.