접선과 대칭, 같은 개념을 어디까지 연결했을까?

$B$는 $y=x$ 위에, $C$는 $y$축 위에 있으므로 $A(2,6)$를 각 직선에 대칭한 $A_1(6,2),\quad A_2(-2,6)$를 잡으면 $$AB+BC+CA=A_1B+BC+CA_2$$이다.

꺾인 경로는 $A_1A_2$보다 짧을 수 없으므로 둘레는 $\sqrt{(-8)^2+4^2}=4\sqrt5$ 이상이다.

직선 $A_1A_2$는 $x+2y=10$이고 두 제약직선과의 교점은 $$\begin{aligned}B&=\left(\frac{10}{3},\frac{10}{3}\right),\\C&=(0,5)\end{aligned}$$로, $A_1,B,C,A_2$가 이 순서로 놓인다.

따라서 실제 삼각형에서 하한이 달성되어 최솟값은$4\sqrt5$이며, 교점순서까지 확인해야 거리 하한을 정답으로 확정할 수 있다.

두 축에 접하는 원의 반지름을 $r>0$이라 두면 중심은 $(r,r),\quad(-r,r),\quad(-r,-r),\quad(r,-r)$의 네 경우이다.

중심$(h,k)$에서 주어진 직선까지의 거리가 $r$이므로 $\lvert3h-4k+12\rvert=5r$을 각 경우에 적용한다.

네 경우의 양의 해는 차례로 $r=2$, $r\in\{1,6\}$, $r=3$, 해 없음이며 절댓값을 풀고 음의 반지름은 버린다.

따라서 서로 다른 원은4개이고 넓이 합은$$(2^2+1^2+6^2+3^2)\pi=50\pi$$이다.

외점$(4,-5)$을 지나는 접선을 $y=m(x-4)-5$로 놓으면 중심거리=반지름에서 $(4m+5)^2=10(m^2+1)$, 곧$6m^2+40m+15=0$을 얻는다.

두 접선의 기울기를 $m_1,m_2$라 할 때 개별 근을 풀 필요 없이 $m_1+m_2=-\frac{20}{3}$을 쓴다.

두 $y$절편은 $-4m_1-5,-4m_2-5$이므로 합은$\frac{50}{3}$이고, 이 두 점을 지름 끝점으로 하는 원의 중심은 중점$\left(0,\frac{25}{3}\right)$이다.

따라서 $p=3,q=25$로 $p+q=28$이며, 판별식$1240>0$이고 수직선 $x=4$는 접선이 아니므로 두 기울기를 빠짐없이 다뤘다.

$y=x$에 대한 대칭점은 $A^{\prime}=(a,3),\quad B^{\prime}=(1,2)$이고, 대칭점을 잇는 $AA^{\prime}$와 $BB^{\prime}$는 모두 $y=x$에 수직이어서 서로 평행하다.

직선 $AB$와 $A^{\prime}B^{\prime}$의 교점을 $P$라 하면 두 삼각형 $APA^{\prime},\ BPB^{\prime}$는 대응각이 같아 닮으므로 넓이비$9:4$를 길이비 제곱으로 바꿀 수 있다.

$$\begin{aligned}AA^{\prime}&=\sqrt2(a-3),\\BB^{\prime}&=\sqrt2\end{aligned}$$이며 $a>3$이므로 $(a-3)^2=\frac94$에서 $a=\frac92$이다.

이 값을 대입하면 $P=\left(\frac{12}{5},\frac{12}{5}\right)$, 두 넓이가$\frac{81}{40}$과$\frac9{10}$으로 계산되어 비가$9:4$임을 확인할 수 있다.

두 각의 이등분선은 원래 두 직선의 교점을 함께 지나므로, 주어진 직선$3x+2y-8=0$과 이등분선$x-3y+1=0$을 연립하여 교점$P=(2,1)$을 구한다.

이웃한 두 각의 합이$180^{\circ}$이므로 각각을 반으로 나눈 두 이등분선은 서로 수직이다.

주어진 이등분선 기울기가$\frac13$이므로 다른 이등분선 기울기는$-3$이고, $P$를 지나므로$3x+y-7=0$이다.

여기에$\left(\frac13,k\right)$를 대입하면$1+k-7=0$에서 $k=6$으로 결정된다.