경우를 나누고 끝까지 확인하는 좌표도형

세 직선이 삼각형을 만들지 않는 경우는 한 쌍이 평행하거나 세 직선이 한 점에서 만나는 경우이다.

매개직선의 기울기$-\frac a3$을 다른 두 기울기$\frac34,-\frac12$와 같게 놓으면 $a=-\frac94,\frac32$이다.

다른 두 직선의 교점은$(-2,0)$이므로 이 점을 매개직선에 대입하면 $a=-1$을 얻는다.

세 값은 서로 다른 경우이며 곱은$$\left(-\frac94\right)\cdot\frac32\cdot(-1)=\frac{27}{8}$$이다.

세 변의 제곱은 $$\begin{aligned}AB^2&=8,\\AC^2&=(a-2)^2+1,\\BC^2&=(a-4)^2+9\end{aligned}$$이므로 같은 두 변을 고르는 세 경우를 모두 나눈다.

$AB=AC$이면 $a=2\pm\sqrt7$이고, $AB=BC$는 $BC^2\ge9>8$이어서 불가능하며, $AC=BC$이면 $a=5$이다.

세 점이 일직선인 값은 $a=1$인데 얻은 세 값에 포함되지 않으므로 모두 실제 이등변삼각형을 만든다.

따라서 모든 $a$의 곱은$$\begin{aligned}(2+\sqrt7)(2-\sqrt7)\cdot5&=(4-7)\cdot5\\&=-15\end{aligned}$$이다.

첫 원의 중심$(-3,2)$을$(4,-1)$만큼 옮기면$(1,1)$이고 $y=x$ 대칭 후에도 그대로이므로 두 원의 중심은$(-3,2),(1,1)$,반지름은 모두2이다.

직선까지의 두 중심거리는 $$\begin{aligned}d_1&=\frac{\lvert a-17\rvert}{5},\\d_2&=\frac{\lvert a-1\rvert}{5}\end{aligned}$$이고 교점 수 합3은$(d_1=2,\ d_2<2)$ 또는$(d_1<2,\ d_2=2)$이다.

첫 등식에서 나온 $a=7,27$ 중 두 번째 부등식을 만족하는 것은7이고, 두 번째 등식의 $a=-9,11$ 중 첫 번째 부등식을 만족하는 것은11이다.

실제로 $a=7$일 때 교점 수가$(1,2)$,$a=11$일 때$(2,1)$이므로 모든 값은$7,11$이다.

한 가지 이상 체험에 참여한 인원은$24+22=46$명이고 두 활동 인원합58명과의 차12명은 두 체험에 모두 참여한 인원이다.

정확히 한 체험에만 참여한 인원은$46-12=34$명이므로, 남자가 여자보다4명 많다는 조건을 함께 풀면 남자19명·여자15명이다.

전체 여자22명에서 한 체험만 참여한 여자15명을 빼면 두 체험에 모두 참여한 여자는7명이다.

검산하면 공통참여 남자는5명이고$19-15=4,\quad5+7=12$가 모두 성립한다.

마름모의 이웃한 두 변 $OA$,$OC$가 같으므로$1+a^2=5^2+5^2=50$이고 $a>0$에서 $a=7$이다.

마름모는 평행사변형이므로 대각선$OB$와 $AC$의 중점이 같아 $O+B=A+C$,즉$(b,c)=(1,7)+(5,5)=(6,12)$이다.

따라서 $a+b+c=7+6+12=25$이다.

이때 인접변 벡터$(1,7),(5,5)$의 행렬식이$-30$으로$0$이 아니므로 세 점이 한 직선에 놓이지 않는 조건도 만족한다.