‘반드시 존재한다’는 조건은 어떻게 풀까?

실수 전체에서 연속인 $f$가 $f(-2)=a,\ f(2)=a-4$를 만족할 때, 모든 허용 함수에 대해 $(-2,2)$ 안에 $f(x)=x^3$의 해가 보장되는 정수 $a$를 셉니다.

차이함수 $H(x)=f(x)-x^3$를 놓으면
$$H(-2)=a+8,\qquad H(2)=a-12$$
이므로 두 끝의 부호가 반대인 $-8<a<12$에서 내부 해가 보장된다.

정수 $a$는 -7부터 11까지 19개다.

경계값까지 넣을 수 없는 이유는 $H(x)=a-2-5x$로 잡으면 $a\le -8$ 또는 $a\ge 12$에서 끝값을 맞추면서 열린구간 내부에는 영점이 없기 때문이다.

따라서 단순히 사잇값 정리의 충분조건만 쓰는 데서 그치지 않고 경계 제외의 필요성도 끝까지 확인한다.

바깥 함수는 $g(x)=x^3+ax^2+bx+2$이고, 안쪽 함수 $f$는 $x=1$ 이외에서 연속인 원문 그래프입니다.

그림의 빈 점과 채워진 점을 나누어 읽으면 $x=1$에서 왼쪽 극한은 -1, 실제 함수값은 0, 오른쪽 극한은 1이다.

바깥의 다항함수 $g$가 이 세 입력을 같은 값으로 보내야 하므로 $g(-1)=g(0)=g(1)$을 세운다.

$g(0)=2$를 기준으로
$$a-b=1,\qquad a+b=-1$$
을 풀면 $a=0,\ b=-1$이다.

이때 $g(x)=x^3-x+2$이고 세 입력에서 모두 2가 되며, 다른 점에서는 안쪽 함수가 연속이어서 합성함수도 연속이다.

시험의 곡선은 $f(x)=x^3-6x^2+8x$이고, 외부점은 $P(0,8)$입니다.

접점의 $x$좌표를 $u$라 두고 접선이 $P(0,8)$을 지난다는 조건을 쓰면
$$8=f(u)-uf'(u)=-2u^3+6u^2$$
가 된다.

$(u+1)(u-2)^2=0$에서 중근을 두 번 세지 않고 접점 $A(-1,-15),\ B(2,0)$를 얻는다.

$P$를 기준으로 한 두 좌표차의 행렬식은
$$\left|\det\begin{pmatrix}-1&2\\-23&-8\end{pmatrix}\right|=54$$
이므로 삼각형 넓이는 27이다.

두 접선 $y=23x+8$과 $y=-4x+8$은 서로 다르면서 모두 $P$를 지나므로 접점 개수와 넓이를 함께 검산할 수 있다.

곡선 $y=x^2$과 직선 $y=x+g(t)$의 서로 다른 두 교점 $A,B$에 대해 $AB=2t,\ t>0$입니다.

직선을 $y=x+b$로 두고 포물선과의 교점 $x$좌표를 $\alpha,\beta$라 놓으면 $x^2-x-b=0$에서 $(\beta-\alpha)^2=1+4b$를 얻는다.

기울기가 1이므로 실제 선분의 길이 제곱은 $2(\beta-\alpha)^2$이며, $AB=2t$를 넣으면
$$g(t)=\frac{t^2}{2}-\frac14$$
이다.

시험은 대비문항의 $\frac{g(t)}{t^2}$와 반대로 $\frac{t^2}{g(t)}$를 물으므로 $t$가 무한대로 갈 때의 극한은 2가 된다.

$t>0$에서 판별식 $1+4g(t)=2t^2>0$이므로 두 교점이 실제로 서로 다르다는 조건도 충족한다.

다항함수 $f$의 원래 조건은 $\lim\limits_{x\to1}\frac{f(x)}{x-1}=1$과 $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)-2x^2}{3x-1}=k$이며, $k$는 실수입니다.

무한대에서 둘째 극한이 유한하다는 조건으로 $f(x)=2x^2+ux+v$까지 차수와 최고계수를 먼저 고정한다.

$x\to1$인 첫 극한의 분모가 0으로 가므로 $f(1)=0$이고, 약분한 극한 또는 미분계수로 $f'(1)=1$을 얻는다.

따라서 $2+u+v=0,\ 4+u=1$을 풀면
$$f(x)=2x^2-3x+1$$
이다.

원래 두 식에 다시 넣으면 극한값이 각각 1과 -1이 되어 실수 $k$ 조건까지 맞는다.