명수학학원

2026학년도 2학기 중간·1차고사 · 미적분Ⅰ

영점과 기하량, 미분가능성을 조건으로 읽기

불연속의 소거와 극한의 연결을 살피고, 준비한 풀이를 달라진 조건에 적용합니다.

학교·학년
무룡고등학교 고2
과목
미적분Ⅰ
시험일
2026-10-14

01 · THE WHOLE EXAM

시험 전체는 어떤 구성이었나요?

분석한 22문항은 기본 9문항, 표준 9문항, 응용·변별 4문항입니다. 정의를 정확히 적용하면서 여러 조건을 연결하는 문제가 폭넓게 배치됐습니다. 객관식 7·8번과 15·16번에서는 영점, 기하량의 식 구성, 최적화, 절댓값의 미분가능성을 각각 연결해야 했습니다.

기본 9문항표준 9문항응용·변별 4문항

분석한 22문항의 내용 기준입니다. 기본은 정의·공식과 정형 절차, 표준은 익숙한 개념의 연결, 응용·변별은 전략 선택과 복수 조건 해석을 중심으로 구분했습니다. 실제 정답률·평균 성적이나 배점 비율을 뜻하지 않으며 반올림으로 합계가 조금 다를 수 있습니다.

과거 기출과 비교하면

같은 학교의 2024년 수학Ⅱ 동범위 표본 19문항과 비교하면 기본 비중은 57.9%에서 이번 40.9%로, 응용·변별 비중은 10.5%에서 18.2%로 달라졌습니다. 이번에는 연결과 전략을 요구하는 문항이 더 눈에 띕니다. 다만 서로 다른 두 시험의 내용 구성 비교이며, 학생 정답률이나 평균 성적의 변화를 뜻하지 않습니다.

02 · WHERE TO THINK DEEPER

어떤 지점에서 더 깊은 생각이 필요했나요?

불연속을 없애는 영점과 평행이동, 원·직선에서 만든 길이와 넓이의 식이 객관식의 중요한 발상입니다. 서술형에서는 극한으로 함수값과 미분계수를 복원하고, 함수방정식을 차분몫으로 바꾸는 연결을 준비할 필요가 있었습니다.

  • 7번두 불연속점을 소거하는 영점과 평행이동한 영점쌍의 간격 3을 연결하여 추가 근의 위치를 분류한다.
  • 8번원 반지름과 직선 절편으로 넓이비를 구성하고 유리화해야 하는 소거 구조를 찾아야 한다.
  • 15번삼각형 넓이를 점-직선 거리의 절댓값으로 바꾸고 보조 사차식의 전역 최솟값과 양수 여부를 검증한다.
  • 16번절댓값의 전역 미분가능성을 삼차 차함수의 실근 중복도로 해석해 삼중근 구조를 결정한다.
  • 서술형2번두 극한에서 네 개의 함수값·미분계수 조건을 읽어 삼차식 계수를 결정한다.

03 · FROM PREPARATION TO THE EXAM

준비한 문제를,
달라진 조건에 연결합니다.

시험 전 실제 출제자료와 이번 문항을 대조했습니다. 조건과 풀이가 가까운 경우와 일부 개념을 연결한 경우를 구별하고, 시험에서 새로 처리해야 할 단계까지 설명합니다.

01

7번 · 핵심 풀이 구조를 연결한 문항

불연속을 없애는 근과 평행이동

시험 전 출제자료마플시너지 미적분 I 내신연계문제 (22개정) · 1422026-09-02 출제 기록

두 문항의 조건을 나란히 살펴보세요.

7번 시험 문항과 대비 문항 좌우 비교비교 이미지를 눌러 크게 볼 수 있습니다.
이번 시험 출제 문항원문 재조판

무룡고2 미적분Ⅰ · 7번
2026-10-14 시험

함수 f(x)f(x)가 f(x)={−2x+1(x≤−1),3x+1(−1<x≤2),2x−3(x>2)f(x)=\begin{cases}-2x+1&(x\le-1),\\3x+1&(-1<x\le2),\\2x-3&(x>2)\end{cases}이고, 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 g(x)g(x)에 대하여 함수 f(x)g(x)f(x)g(x)는 모든 실수 xx에서 연속이다. 함수 f(x)g(x+k)f(x)g(x+k)가 모든 실수 xx에서 연속이 되도록 하는 상수 kk가 존재할 때, g(0)g(0)의 최솟값은? (단, k≠0k\ne0) [4.0점]

① −8-8
② −7-7
③ −6-6
④ −5-5
⑤ −4-4

시험 전 대비 문항원문 재조판

마플시너지 미적분 I 내신연계문제 (22개정) · 142번
2026-09-02 출제 기록

최고차항의 계수가 1인 이차함수 f(x)f(x)와 함수
g(x)={−∣x∣+4(∣x∣≤4)2(∣x∣>4)g(x)=\begin{cases}-|x|+4 & (|x| \le 4) \\ 2 & (|x|>4)\end{cases}
에 대하여 함수 f(x)g(x)f(x)g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이다.
함수 y=f(x−a)g(x)y=f(x-a)g(x)의 그래프가 한 점에서만 불연속이 되도록 하는 모든 실수 aa의 값의 곱은?

① −64-64
② −12-12
③ −8-8
④ −4-4
⑤ −1-1

시험 전 대비 문항 142번 문항의 그림

함께 쓰는 생각

구간별 함수와 다항함수의 곱이 연속이라는 조건에 다항함수의 평행이동 조건을 더합니다.

시험에서 달라진 조건

대비는 최고차항 계수 1인 이차함수, 시험은 삼차함수입니다. 이동 후 조건도 ‘한 점에서만 불연속’과 ‘모든 실수에서 연속’으로 다릅니다.

두 문항을 한 화면에서 크게 보기

대비에서 준비한 생각

함수값이 뛰는 두 경계에서 곱하는 다항식이 0이 되어야 한다는 조건을 먼저 찾습니다. 평행이동한 다항식도 같은 경계에서 0이 되어야 할 때, 이동 거리와 근의 위치를 연결하는 생각이 공통입니다.

시험에서는 이렇게 이어갑니다

불연속을 지우는 영점은 평행이동 후에도 추적해야 합니다. 시험 전 자료의 이동 전략을 삼차식에 적용하면 gg의 두 근은-1,2이고 새 근쌍의 간격도3입니다. k≠0k\ne0을 반영한 세 번째 근은-4또는5,따라서 g(0)g(0)의 최솟값은-8입니다.

조건부터 검산까지, 풀이 자세히 보기

ff는 -1과 2에서 점프하므로 fgfg가 연속이려면 g(−1)=g(2)=0g(-1)=g(2)=0이고, g=(x+1)(x−2)(x−r)g=(x+1)(x-2)(x-r)로 둔다.

f(x)g(x+k)f(x)g(x+k)도 연속이려면 g(k−1)=g(k+2)=0g(k-1)=g(k+2)=0이므로 삼차식의 근들 안에 간격이 3인 새로운 근 쌍이 있어야 한다.

k≠0k\ne0이라 기존 쌍 (−1,2)(-1,2)은 제외되고, r=−4r=-4와 k=−3k=-3 또는 r=5r=5와 k=3k=3만 가능하다.

g(0)=2rg(0)=2r이므로 가능한 값 -8,10 중 최솟값은 -8이다.

대비자료는 두 근이 ±4\pm4인 이차식을 이동해 정확히 한 점에만 불연속이 남는 a=±8a=\pm8을 구합니다. 시험은 두 경계 −1, 2-1,\ 2에서 f(x)g(x)f(x)g(x)와 f(x)g(x+k)f(x)g(x+k)가 모두 연속이어야 하므로, 삼차식 g(x)g(x)의 세 번째 근 rr과 0이 아닌 이동량 kk를 함께 정해야 합니다.

02

8번 · 공통 발상을 확장하는 문항

원·직선의 길이를 식으로 만든 뒤 유리화

시험 전 출제자료마플시너지 미적분 I 내신연계문제 (22개정) · 772026-09-02 출제 기록

두 문항의 조건을 나란히 살펴보세요.

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이번 시험 출제 문항원문 재조판

무룡고2 미적분Ⅰ · 8번
2026-10-14 시험

다음 그림과 같이 중심이 원점 OO이고 곡선 y=xy=\sqrt{x} 위의 점 P(t,t)P(t,\sqrt{t})를 지나는 원과 yy축이 만나는 점 중에서 yy좌표가 양수인 점을 QQ라 하고, 직선 PQPQ가 xx축과 만나는 점을 RR이라 하자. 중심이 원점 OO이고 점 PP를 지나는 원의 넓이를 S(t)S(t), △OPR\triangle OPR의 넓이를 T(t)T(t)라 할 때, lim⁡t→0+S(t)t×T(t)\displaystyle\lim_{t\to0^{+}}\frac{S(t)}{\sqrt{t}\times T(t)}의 값은? [4.1점]

① π2\frac\pi2
② π\pi
③ 32π\frac32\pi
④ 2π2\pi
⑤ 52π\frac52\pi

이번 시험 출제 문항 8번 문항의 그림
시험 전 대비 문항원문 재조판

마플시너지 미적분 I 내신연계문제 (22개정) · 77번
2026-09-02 출제 기록

오른쪽 그림과 같이 곡선 y=xy=\sqrt{x} 위의 점 P(t,t)(t,\sqrt{t})를 지나고 직선 OP와 수직인 직선 ll의 기울기를 mm이라 할 때, lim⁡t→∞(OP‾−m2)\displaystyle\lim_{t\to\infty}(\overline{OP}-m^2)의 값은?

① 12\frac{1}{2}
② 1
③ 32\frac{3}{2}
④ 2
⑤ 4

시험 전 대비 문항 77번 문항의 그림

함께 쓰는 생각

곡선 y=xy=\sqrt{x} 위의 점 P(t,t)P(t,\sqrt{t})와 원점을 연결하는 기하량을 다룹니다.

시험에서 달라진 조건

대비는 수직인 직선과 t→∞t\to\infty 조건입니다. 시험은 원과 삼각형의 넓이비 및 t→0+t\to0^+ 조건이므로 그림과 극한 방향을 구별합니다.

두 문항을 한 화면에서 크게 보기

대비에서 준비한 생각

점 P(t,t)P(t,\sqrt t)에서 원점까지의 거리를 t2+t\sqrt{t^2+t}로 나타내고, 근호가 포함된 차를 켤레식으로 유리화하여 극한을 계산하는 단계가 연결됩니다.

시험에서는 이렇게 이어갑니다

도형의 길이를 먼저 식으로 옮기면 극한의 길이 보입니다. 반지름r=t2+tr=\sqrt{t^2+t},직선의 xx절편은rtr−t\frac{rt}{r-\sqrt t}이고,유리화하면1+t+1+t1+t+\sqrt{1+t}입니다. 이 값을 원과 삼각형 넓이에 넣어 공통인수를 약분하면 최종 극한은π\pi입니다.

조건부터 검산까지, 풀이 자세히 보기

원 반지름 r=t2+tr=\sqrt{t^2+t}이므로 Q=(0,r)Q=(0,r)이고, 직선 PQPQ의 xx절편은 OR=rtr−tOR=\frac{rt}{r-\sqrt t}이다.

분모를 유리화하면 r2−t=t2r^2-t=t^2을 이용하여 OR=1+t+1+tOR=1+t+\sqrt{1+t}를 얻는다.

따라서 원 넓이는 S=πt(t+1)S=\pi t(t+1), 삼각형 넓이는 T=t(1+t+1+t)2T=\frac{\sqrt t\left(1+t+\sqrt{1+t}\right)}{2}이다.

St T=2π(t+1)1+t+1+t\frac{S}{\sqrt t\,T}=\frac{2\pi(t+1)}{1+t+\sqrt{1+t}}
에서 t→0+t\to0^+를 취하면 π\pi이다.

대비자료는 OPOP에 수직인 직선을 다루고 t→∞t\to\infty일 때의 거리와 기울기를 구합니다. 시험의 PQPQ는 원의 양의 yy절편 QQ와 PP를 잇는 선분으로 OPOP에 수직이지 않으며, t→0+t\to0^+일 때 원과 삼각형의 넓이비를 구합니다. 따라서 거리와 유리화의 발상을 활용하되 시험의 도형에 맞춰 넓이식을 새로 세워야 합니다.

03

서술형2번 · 조건과 풀이가 가까운 문항

극한 두 개에서 네 조건을 읽기

시험 전 출제자료마플시너지 미적분I 본문·빠른정답 1568문항 · 1222026-09-30 출제 기록

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무룡고2 미적분Ⅰ · 서술형2번
2026-10-14 시험

삼차함수 f(x)f(x)가 lim⁡x→0f(x)x=6,lim⁡x→4f(x)−4x−4=6\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}&=6,\\\lim_{x\to4}\frac{f(x)-4}{x-4}&=6\end{aligned}을 만족시킬 때, f(−1)f(-1)의 값을 구하시오. [7.0점]

시험 전 대비 문항원문 재조판

마플시너지 미적분I 본문·빠른정답 1568문항 · 122번
2026-09-30 출제 기록

삼차함수 f(x)f(x) 가 lim⁡x→0f(x)x=lim⁡x→1f(x)x−1=1 \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=1 을 만족시킬 때, f(2)f(2) 의 값은?

① 4
② 6
③ 8
④ 10
⑤ 12

함께 쓰는 생각

삼차함수에 대해 두 개의 유한한 극한을 제시하고 특정 입력에서의 함수값을 묻습니다.

시험에서 달라진 조건

대비의 접근점은 0과 1, 시험은 0과 4입니다. 시험의 두 번째 분자는 f(x)−4f(x)-4이며, 요구하는 함수값도 다릅니다.

두 문항을 한 화면에서 크게 보기

대비에서 준비한 생각

삼차함수에 관한 두 유한 극한을 함수값과 미분계수의 네 조건으로 읽어 계수를 결정합니다. 두 문항 모두 첫 접근점 0에서 f(0)=0f(0)=0을 얻는 것으로 풀이를 시작합니다.

시험에서는 이렇게 이어갑니다

극한이 유한하다는 조건에서 함수값을,그 극한값에서 미분계수를 읽습니다. 학교에서는 f(0)=0, f′(0)=6, f(4)=4, f′(4)=6f(0)=0,\ f'(0)=6,\ f(4)=4,\ f'(4)=6입니다. 두 번째 점을 영점으로 오해하지 않고 삼차식 계수를 연립하면 f(−1)=−838f(-1)=-\frac{83}{8}로 완성됩니다.

조건부터 검산까지, 풀이 자세히 보기

첫 극한에서 f(0)=0, f′(0)=6f(0)=0,\ f'(0)=6을, 둘째 극한에서 f(4)=4, f′(4)=6f(4)=4,\ f'(4)=6을 얻는다.

f=ax3+bx2+6xf=ax^3+bx^2+6x라 두면 f(4)=4f(4)=4에서 4a+b=−544a+b=-\frac54, f′(4)=6f'(4)=6에서 6a+b=06a+b=0이다.

연립하여 a=58, b=−154a=\frac58,\ b=-\frac{15}{4}이므로
f(−1)=−58−154−6=−838f(-1)=-\frac58-\frac{15}{4}-6=-\frac{83}{8}
이다.

대비자료는 0과 1이 모두 영점이고 두 점에서의 미분계수가 1입니다. 시험은 0과 4에서의 미분계수가 6이지만 f(4)=4f(4)=4이므로, 두 점을 모두 영점으로 놓는 인수분해를 쓸 수 없습니다. 네 조건을 직접 연립해 함수를 구한 뒤 f(−1)f(-1)을 계산해야 합니다.

04

서술형3번 · 조건과 풀이가 가까운 문항

무한대와 한 점의 극한을 함께

시험 전 출제자료마플시너지 미적분I 본문·빠른정답 1568문항 · 5482026-09-09 출제 기록

두 문항의 조건을 나란히 살펴보세요.

서술형3번 시험 문항과 대비 문항 좌우 비교비교 이미지를 눌러 크게 볼 수 있습니다.
이번 시험 출제 문항원문 재조판

무룡고2 미적분Ⅰ · 서술형3번
2026-10-14 시험

다항함수 f(x)f(x)가 lim⁡x→∞f(x)−2x3x2=4,\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-2x^3}{x^2}=4,lim⁡x→2f(x)x−2=12\lim_{x\to2}\frac{f(x)}{x-2}=12를 만족시킬 때, f′(1)f^{\prime}(1)의 값을 구하시오. [8.0점]

시험 전 대비 문항원문 재조판

마플시너지 미적분I 본문·빠른정답 1568문항 · 548번
2026-09-09 출제 기록

(가) lim⁡x→−∞f(x)−2x3x2+1=−2\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)-2x^3}{x^2+1}= -2 (나) lim⁡x→1f(x+1)−3x(x−1)=12\lim_{x \to 1}\frac{f(x+1)-3}{x(x-1)}=12 다항함수 f(x)f(x) 가 다음 조건을 만족시킬 때, f(−1)+f′(−1)f(-1)+f'(-1) 의 값을 구하시오.

함께 쓰는 생각

다항함수에 대해 무한대에서의 극한과 한 점에서의 극한을 함께 제시합니다.

시험에서 달라진 조건

무한대로 가는 방향과 분모가 다릅니다. 대비의 f(x+1)−3f(x+1)-3과 시험의 f(x)f(x), 마지막에 요구하는 함수값·미분계수도 구별합니다.

두 문항을 한 화면에서 크게 보기

대비에서 준비한 생각

무한대에서의 극한으로 최고차항 2x32x^3과 이차항을 결정합니다. 이어지는 극한에서 입력 2의 함수값과 미분계수 12를 읽어 나머지 계수를 구하는 순서가 같습니다.

시험에서는 이렇게 이어갑니다

무한대 극한과 한 점의 극한을 따로 계산하지 않고 계수 조건으로 묶습니다. 최고 두 항은 2x3+4x22x^3+4x^2이고, f(2)=0, f′(2)=12f(2)=0,\ f'(2)=12입니다. 이 조건에서 나머지 계수는 -28,24로 정해지며, 학교가 마지막에 묻는 f′(1)f'(1)은 -14입니다. 함수값과 도함숫값을 함께 읽는 문제입니다.

조건부터 검산까지, 풀이 자세히 보기

첫 극한에서 f=2x3+4x2+ax+bf=2x^3+4x^2+ax+b로 놓는다.

둘째 극한이 유한하므로 f(2)=0f(2)=0이고, 그 극한값은 f′(2)=12f'(2)=12이므로 40+a=1240+a=12에서 a=−28a=-28이다.

f(2)=0f(2)=0에서 32+2a+b=032+2a+b=0이므로 b=24b=24이고,
f′(1)=6+8−28=−14f'(1)=6+8-28=-14
이다.

대비자료는 x→−∞x\to-\infty에서 이차항이 −2x2-2x^2임을 구하고, 이동한 입력의 극한에서 f(2)=3, f′(2)=12f(2)=3,\ f'(2)=12를 얻어 f(−1)+f′(−1)f(-1)+f'(-1)을 계산합니다. 시험은 x→∞x\to\infty에서 이차항 4x24x^2를 정하고 f(2)=0, f′(2)=12f(2)=0,\ f'(2)=12를 이용해 f′(1)f'(1)을 구합니다.

05

서술형6번 · 조건과 풀이가 가까운 문항

함수방정식을 차분몫으로 바꾸기

시험 전 출제자료마플시너지 미적분I 본문·빠른정답 1568문항 · 5392026-09-07 출제 기록

두 문항의 조건을 나란히 살펴보세요.

서술형6번 시험 문항과 대비 문항 좌우 비교비교 이미지를 눌러 크게 볼 수 있습니다.
이번 시험 출제 문항원문 재조판

무룡고2 미적분Ⅰ · 서술형6번
2026-10-14 시험

미분가능한 함수 f(x)f(x)가 모든 실수 xx와 yy에 대하여 f(x+y)=f(x)+f(y)+5xyf(x+y)=f(x)+f(y)+5xy를 만족시키고, f′(0)=4f^{\prime}(0)=4일 때, f′(x)f^{\prime}(x)를 구하시오. (※ 도함수의 정의를 적고 이를 이용하시오.) [8.0점]

시험 전 대비 문항원문 재조판

마플시너지 미적분I 본문·빠른정답 1568문항 · 539번
2026-09-07 출제 기록

f(x)f(x)가 모든 실수 xx, yy에 대하여
f(x+y)=f(x)+f(y)−3xy−2f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy-2
를 만족시키고 f′(0)=5f'(0)=5일 때, f′(x)f'(x)의 식을 구하는 과정을 다음 단계로 서술하시오.

[1단계] 주어진 식을 이용하여 f(0)f(0)의 값을 구한다. [2점]

[2단계] f′(0)=5f'(0)=5를 이용하여 lim⁡h→0f(h)−2h\lim_{h \to 0} \frac{f(h)-2}{h}의 값을 구한다. [4점]

[3단계] f′(x)f'(x)의 식을 구한다. [4점]

함께 쓰는 생각

모든 실수 x,yx,y에 대한 함수식과 f′(0)f'(0)을 제시하고 도함수를 묻습니다.

시험에서 달라진 조건

보정항은 대비의 −3xy−2-3xy-2에서 시험의 +5xy+5xy로, 초기 미분계수는 5에서 4로 바뀝니다. 단계별 서술 요구도 원문대로 확인합니다.

두 문항을 한 화면에서 크게 보기

대비에서 준비한 생각

두 변수가 들어 있는 함수식에 0을 대입해 기준 함수값을 구합니다. 이어 y=hy=h를 대입한 식을 차분몫으로 정리하고 미분계수의 정의를 적용해 도함수 f′(x)f'(x) 전체를 구합니다.

시험에서는 이렇게 이어갑니다

함수방정식은 도함수 정의를 꺼내는 단서입니다. 먼저 x=y=0x=y=0에서 f(0)=0f(0)=0을 정하고, y=hy=h를 대입해 차분몫을 만듭니다. 그러면 f(h)h→f′(0)=4\frac{f(h)}h\to f'(0)=4이므로 전체 도함수는 f′(x)=5x+4f'(x)=5x+4입니다. 기준 함수값부터 도함수까지 한 흐름으로 연결합니다.

조건부터 검산까지, 풀이 자세히 보기

x=y=0x=y=0을 넣으면 f(0)=2f(0)f(0)=2f(0)이므로 f(0)=0f(0)=0이다.

함수방정식에 y=hy=h를 넣어 차분몫을 만들면
f(x+h)−f(x)h=f(h)h+5x\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{f(h)}{h}+5x
이다.

h→0h\to0에서 첫 항은 f(h)−f(0)h→f′(0)=4\frac{f(h)-f(0)}{h}\to f'(0)=4이므로, 모든 실수 xx에 대하여 f′(x)=5x+4f'(x)=5x+4이다.

대비자료는 보정항 −3xy−2-3xy-2와 f′(0)=5f'(0)=5에서 f(0)=2, f′(x)=5−3xf(0)=2,\ f'(x)=5-3x를 얻습니다. 시험은 보정항이 +5xy+5xy이고 f′(0)=4f'(0)=4이므로 f(0)=0, f′(x)=5x+4f(0)=0,\ f'(x)=5x+4가 됩니다. 같은 차분몫의 틀에 달라진 보정항과 초기값을 반영합니다.

출제 기록은 시험 전 해당 문항이 대비자료에 포함됐다는 근거입니다. 학생 모두의 학습 완료나 성적 향상을 뜻하지 않습니다. 달라진 조건과 풀이의 범위를 각 사례에 함께 적었습니다.

04 · THE NEXT PRACTICE

해설을 덮은 뒤,
생각의 시작을 다시 찾아봅니다.

명수학은 매 수업 테스트와 모든 일일평가 해설강의를 바탕으로 이해를 점검합니다. 부원장 보강, 평가 결과에 따른 재시험과 단원 테스트로 다시 공부할 부분을 확인합니다. 어떤 조건이 그 풀이를 떠올리게 했는지 설명하며 풀이를 익히는 연습으로 이어갑니다.

이 조건에서 왜 이 개념을 떠올렸나요?

대비문항과 달라진 조건은 무엇이었나요?

구한 값과 빠진 경우를 원래 조건으로 확인했나요?

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