극한을 계산하기 전에, 식과 그래프의 구조부터

$y=-x$인 조각은 $x\ge-1$이므로 원과의 교점이$0<t\le\sqrt2$에서2개, $t>\sqrt2$에서1개이다.

$y=x+3$인 조각은 $x<-1$이며
$$x^2+(x+3)^2=2\left(x+\frac32\right)^2+\frac92=t^2$$
이므로 $t=\frac3{\sqrt2}$에서 접하고, $t=\sqrt5$에서 한 근이 경계$x=-1$을 벗어난다.

두 조각을 합하면 $g(2)=1$이고, $g$는 $\sqrt2,\ \frac3{\sqrt2},\ \sqrt5$ 세 곳에서 불연속이며 $g(\sqrt2)$의 우극한은1,실제값은2여서 그 차는-1이다.

$hg$를 연속으로 만들려면 $h$가 이 세 점에서 모두0이어야 하지만 이차함수는 서로 다른 세 근을 가질 수 없으므로 ㄱ만 참이고 정답은①이다.

사차곡선의 접점을 $t$라 두면 원점을 지나는 조건에서 $-3t^4+12=0$이고 양의 기울기를 택해 $t=\sqrt2,\ l:y=8\sqrt2\,x$를 얻는다.

두 번째 곡선의 접점 $x$좌표를 $p\ne0$이라 두고 $m=8\sqrt2$라 쓰면 $p^2-2p+a=m$과 $3p^2-4p+a=m$이다.

두 식을 빼면
$$2p(p-1)=0$$
이므로 $p=1$이며, 따라서 $a=m+1=8\sqrt2+1$이다.

학교 식을 $x\left\{ax^2+2(a-2)x-(a-2)\right\}=0$으로 인수분해하고, $a=0$에서는 $-2x(2x-1)=0$이므로 $f(0)=2$로 센다.

$a\ne0$에서 이차인수의 판별식은$8(a-1)(a-2)$이며, $a=1$에는 이차인수의 중근1과 고정근0으로 $f(1)=2$, $a=2$에는 근0이 겹쳐 $f(2)=1$이다.

그 밖에 $a<1$ 또는$a>2$에서는3개, $1<a<2$에서는1개이므로 좌극한과 실제값이 다른 지점은0,1뿐이다.

따라서 ㄱ과ㄷ은 거짓이고, $a\to0$의 극한3에 $f(0)=2$를 더한 ㄴ만 참이어서 정답은②이다.

$u=\frac{x-1}{x}$라 놓으면 $x\to0^+$에서 $u\to-\infty$이고 $x^3f(u)\to1$이므로 $f$는 최고차항이$-x^3$인 삼차함수이다.

$f(x)-f\!\left(\frac1x\right)$에 $f(1)$을 더하고 빼면 두 차분몫이 각각 $f'(1)$로 가므로 조건(나)는$2f'(1)=4$,즉$f'(1)=2$이다.

조건(다)의 유한성에서 $f(-1)=0$을 얻고 $x^2-1=(x+1)(x-1)$을 이용하면 $\frac{f'(-1)}{-2}=3$,즉$f'(-1)=-6$이다.

$f=-x^3+bx^2+cx+d$에 대입하면
$$\begin{aligned}2b+c&=5,\\-2b+c&=-3,\\1+b-c+d&=0\end{aligned}$$
이므로 $b=2,\ c=1,\ d=-2$이고 $f(-2)=12$이다.

$P(x)=x^7-3x^5-4x^2+5$를 $(x-1)^2$으로 나눈 나머지를 $ux+v$라 두면, $x=1$에서 $u+v=P(1)=-1$이다.

나눗셈 항등식을 미분한 뒤 $x=1$을 넣으면 몫이 포함된 항이 모두 사라져
$$u=P'(1)=7-15-8=-16$$
을 얻는다.

따라서 $v=15$이고 요구값 $R(0)=15$이다.